Из-за двух равных сторон, равнобедренный треугольник обладает рядом специфических свойств, за которые его очень любят составители задач. Рассмотрим, чем же выделяется высота равнобедренного треугольника и как ее лучше найти.
Определение
В общем случае, высота – это перпендикуляр, опущенный из вершины на противолежащую сторону. В равнобедренном треугольнике под высотой обычно подразумевают высоту, опущенную на основание.
Если по условию задачи нужно найти значение высоты равнобедренного треугольника без уточнений, какую именно высоту требуется найти, то имеется в виду высота, опущенная на основание.
Необходимые теоремы
Для решения задач на определение высоты равнобедренного треугольника, нужно знать теорему Пифагора и свойство высоты равнобедренного треугольника.
Теорема Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Свойство: в равнобедренному треугольнике высота, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.
Рис. 1. Иллюстрация свойства.
Из теоремы и свойства следует основная формула высоты равнобедренного треугольника. Рассмотрим равнобедренный треугольник АВС с высотой АН и основанием ВС. Тогда треугольник АВН является прямоугольным. Запишем значение высоты через теорему Пифагора, так как в треугольнике АВН высота АН является катетом.
$$АН=\sqrt{АВ^2-BH^2}=\sqrt{AB^2-({BC\over{2}})^2}$$
$$ВН={1\over2}*ВС$$, так как АН является медианой. Это и есть формула высоты равнобедренного треугольника.
Рис. 2. Рисунок к задаче.
Задача
Решим задачу, где будет задействована не только высота, проведенная к основанию, но другая высота. В равнобедренном треугольнике, как и в любом другом, их три. В задаче также будет применен способ нахождения высоты, который можно использовать для любого треугольника, а не только для равнобедренного.
В Равнобедренном треугольнике АВС с основанием ВС проведены высоты АН и ВР. Синус угла АСВ равен 0,6, а боковая сторона 5. Найти высоту ВР.
Рис. 3. Рисунок к задаче.
Для начала, необходимо найти значение высоты, проведенной к основанию и основания. Для этого обратим внимание на прямоугольный треугольник АСН. Воспользуемся определением синуса.
Синус угла это отношение противолежащего катета к гипотенузе. Нам известно значение синуса, значит:
$${АН\over{АС}}=0,6$$ - из этого отношения выразим значение АН.
$$АН=0,6*АС=0,6*5=3$$
Через теорему Пифагора найдем значение НС:
$$НС=\sqrt{АС^2-AH^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4$$
Тогда основание равно:
$$ВС=ВН+НС=2*НС=2*4=8$$
Теперь найдем площадь треугольника:
$$S={1\over2}*АН*ВС={1\over2}*3*8=12$$
С другой стороны площадь можно найти и через высоту ВР.
$$S={1\over2}*ВР*АС$$ - так как ВР это высота, проведенная к стороне АС.
Значит верно утверждение:
$${1\over2} *АН*ВС={1\over2}*ВР*АС$$
$$АН*ВС=ВР*АС$$
$$ВР={{АН*ВС}\over{АС}}={{3*8}\over5}={24\over5}=4,8$$
Что мы узнали?
Мы вывели формулу высоты прямоугольного треугольника. Определили, что высота в прямоугольном треугольнике может находиться любым способом, связанным с произвольным треугольником и решили интересную задачу на нахождение высоты треугольника.
Тест по теме
Оценка статьи
Средняя оценка: 4.4 . Всего получено оценок: 130.
Свойства равнобедренного треугольника выражают следующие теоремы.
Теорема 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Теорема 2. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.
Теорема 3. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.
Теорема 4. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.
Докажем одну из них, например теорему 2.5.
Доказательство. Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC с основанием ВС и докажем, что ∠ В = ∠ С. Пусть AD - биссектриса треугольника ABC (рис.1). Треугольники ABD и ACD равны по первому признаку равенства треугольников (АВ = АС по условию, AD - общая сторона, ∠ 1 = ∠ 2, так как AD - биссектриса). Из равенства этих треугольников следует, что ∠ В = ∠ С. Теорема доказана.
С использованием теоремы 1 устанавливается следующая теорема.
Теорема 5. Третий признак равенства треугольников. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 2).
Замечание. Предложения, установленные в примерах 1 и 2, выражают свойства серединного перпендикуляра к отрезку. Из этих предложений следует, что серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке .
Пример 1. Доказать, что точка плоскости, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.
Решение. Пусть точка М равноудалена от концов отрезка АВ (рис. 3), т. е. AM = ВМ.
Тогда Δ АМВ равнобедренный. Проведем через точку М и середину О отрезка АВ прямую р. Отрезок МО по построению есть медиана равнобедренного треугольника АМВ, а следовательно (теорема 3), и высота, т. е. прямая МО, есть серединный перпендикуляр к отрезку АВ.
Пример 2. Доказать, что каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от его концов.
Решение. Пусть р - серединный перпендикуляр к отрезку АВ и точка О - середина отрезка АВ (см. рис. 3).
Рассмотрим произвольную точку М, лежащую на прямой р. Проведем отрезки AM и ВМ. Треугольники АОМ и ВОМ равны, так как у них углы при вершине О прямые, катет ОМ общий, а катет ОА равен катету ОВ по условию. Из равенства треугольников АОМ и ВОМ следует, что AM = ВМ.
Пример 3. В треугольнике ABC (см. рис. 4) АВ = 10 см, ВС = 9 см, АС = 7 см; в треугольнике DEF DE = 7 см, EF = 10 см, FD = 9 см.
Сравнить треугольники ABC и DEF. Найти соответственно равные углы.
Решение. Данные треугольники равны по третьему признаку. Соответственно равные углы: А и Е (лежат против равных сторон ВС и FD), В и F (лежат против равных сторон АС и DE), С и D (лежат против равных сторон АВ и EF).
Пример 4. На рисунке 5 АВ = DC, ВС = AD, ∠B = 100°.
Найти угол D.
Решение. Рассмотрим треугольники ABC и ADC. Они равны по третьему признаку (АВ = DC, ВС = AD по условию и сторона АС - общая). Из равенства этих треугольников следует, что ∠ В = ∠ D, но угол В равен 100°, значит, и угол D равен 100°.
Пример 5. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC внешний угол при вершине C равен 123°. Найдите величину угла ABC . Ответ дайте в градусах.
Видео-решение.
Прежде всего, треугольник – это геометрическая фигура, которая образуется тремя, не лежащими на одной прямой, точками, которые соединены тремя отрезками. Чтобы найти, чему равна высота треугольника, необходимо, в первую очередь, определить его тип. Треугольники различаются величиной углов и количеством равных углов. По величине углов треугольник может быть остроугольным, тупоугольным и прямоугольным. По числу равных сторон выделяют равнобедренный, равносторонний и разносторонний треугольники. Высота – это перпендикуляр, который опущен на противоположную сторону треугольника из его вершины. Как найти высоту треугольника?
Как найти высоту равнобедренного треугольника
Для равнобедренного треугольника характерно равенство сторон и углов при его основании, поэтому проведенные к боковым сторонам высоты равнобедренного треугольника всегда равны друг другу. Также высота данного треугольника одновременно является медианой и биссектрисой. Соответственно, высота делит основание пополам. Рассматриваем получившийся прямоугольный треугольник и находим сторону, то есть высоту равнобедренного треугольника, посредством теоремы Пифагора. Воспользовавшись следующей формулой, вычисляем высоту: H = 1/2*√4*a 2 − b 2 , где: а - боковая сторона данного равнобедренного треугольника, b - основание данного равнобедренного треугольника.
Как найти высоту равностороннего треугольника
Треугольник с равными сторонами называется равносторонним. Высоту такого треугольника выводят из формулы высоты равнобедренного треугольника. Получается: H = √3/2*a, где a - сторона данного равностороннего треугольника.
Как найти высоту разностороннего треугольника
Разносторонним называют треугольник, у которого какие-либо две стороны не являются равными друг другу. В таком треугольнике все три высоты будут разными. Рассчитать длины высот можно при помощи формулы: H = sin60*a = a*(sgrt3)/2, где а - сторона треугольника или сначала посчитать площадь конкретного треугольника по формуле Герона, которая выглядит как: S = (p*(p-c)*(p-b)*(p-a))^1/2, где а, b, с – стороны разностороннего треугольника, а p – его полупериметр. Каждая высота = 2*площадь/сторону
Как найти высоту прямоугольного треугольника
Прямоугольный треугольник имеет один прямой угол. Высота, которая проходит к одному из катетов, в то же время является вторым катетом. Поэтому чтобы найти лежащие на катетах высоты, нужно воспользоваться изменённой формулой Пифагора: a = √(c 2 − b 2), где a, b - это катеты (a - катет, который необходимо найти), c - длина гипотенузы. Для того, чтобы найти вторую высоту надо поставить полученное значение a на место b. Для нахождения третьей, лежащей внутри треугольника, высоты применяется следующая формула: h = 2s/a, где h - высота прямоугольного треугольника, s - его площадь, a - длина стороны, к которой будет перпендикулярна высота.
Треугольник называется остроугольным в случае, если все его углы острые. В таком случае все три высоты располагаются внутри остроугольного треугольника. Треугольник называется тупоугольным при наличии одного тупого угла. Две высоты тупоугольного треугольника находятся вне треугольника и падают на продолжение сторон. Третья сторона находится внутри треугольника. Высота определяется при помощи все той же теоремы Пифагора.
Общие формулы, как вычисления высоты треугольника
- Формула для нахождения высоты треугольника через стороны: H= 2/a √p*(p-c)*(p-b)*(p-b), где h - высота, которую нужно найти, а, b и c – стороны данного треугольника, p – его полупериметр, .
- Формула для нахождения высоты треугольника через угол и сторону: H=b sin y = c sin ß
- Формула для нахождения высоты треугольника через площадь и сторону: h = 2S/a, где a – это сторона треугольника, а h – построенная к стороне а высота.
- Формула для нахождения высоты треугольника через радиус и стороны: H= bc/2R.
Равнобедренным является такой треугольник , у которого длины двух его сторон равны между собой.
При решении задач по теме «Равнобедренный треугольник» необходимо пользоваться следующими известными свойствами :
1.
Углы, лежащие напротив равных сторон равны между собой.
2.
Биссектрисы, медианы и высоты, проведенные из равных углов, равны между собой.
3.
Биссектриса, медиана и высота, проведенные к основанию равнобедренного треугольника, между собой совпадают.
4.
Центр вписанной и центр описанной окружностей лежат на высоте, а значит и на медиане и биссектрисе, проведенной к основанию.
5.
Углы, которые являются равными в равнобедренном треугольнике всегда острые.
Треугольник является равнобедренным, если у него присутствуют следующие признаки :
1.
Два угла у треугольника равны.
2.
Высота совпадает с медианой.
3.
Биссектриса совпадает с медианой.
4.
Высота совпадает с биссектрисой.
5.
Две высоты треугольника равны.
6.
Две биссектрисы треугольника равны.
7.
Две медианы треугольника равны.
Рассмотрим несколько задач по теме «Равнобедренный треугольник» и приведем подробное их решение.
Задача 1.
В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, равна 8, а основание относится к боковой стороне как 6: 5. Найти, на каком расстоянии от вершины треугольника находится точка пересечения его биссектрис.
Решение.
Пусть дан равнобедренный треугольник АВС (рис. 1) .
1) Так как АС: ВС = 6: 5, то АС = 6х и ВС = 5х. ВН – высота, проведенная к основанию АС треугольника АВС.
Так как точка Н – середина АС (по свойству равнобедренного треугольника), то НС = 1/2 АС = 1/2 · 6х = 3х.
ВС 2 = ВН 2 + НС 2 ;
(5х) 2 = 8 2 + (3х) 2 ;
х = 2, тогда
АС = 6х = 6 · 2 = 12 и
ВС = 5х = 5 · 2 = 10.
3) Так как точка пересечения биссектрис треугольника является центром вписанной в него окружности, то
ОН = r . Радиус вписанной в треугольник АВС окружности найдем по формуле
4) S ABC = 1/2 · (AC · BH); S ABC = 1/2 · (12 · 8) = 48;
p = 1/2 · (AB + BC + AC); p = 1/2 · (10 + 10 + 12) = 16, тогда ОН = r = 48/16 = 3.
Отсюда ВО = ВН – ОН; ВО = 8 – 3 = 5.
Ответ: 5.
Задача 2.
В равнобедренном треугольнике АВС проведена биссектриса АD. Площади треугольников ABD и ADC равны 10 и 12. Найти увеличенную в три раза площадь квадрата, построенного на высоте этого треугольника, проведенной к основанию АС.
Решение.
Рассмотрим треугольник АВС – равнобедренный, АD – биссектриса угла А (рис. 2).
1) Распишем площади треугольников ВАD и DAC:
S BAD = 1/2 · AB · AD · sin α; S DAC = 1/2 · AC · AD · sin α.
2) Найдем отношение площадей:
S BAD /S DAC = (1/2 · AB · AD · sin α) / (1/2 · AC · AD · sin α) = AB/AC.
Так как S BAD = 10, S DAC = 12, то 10/12 = АВ/АС;
АВ/АС = 5/6, тогда пусть АВ = 5х и АС = 6х.
АН = 1/2 АС = 1/2 · 6х = 3х.
3) Из треугольника АВН – прямоугольного по теореме Пифагора АВ 2 = АН 2 + ВН 2 ;
25х 2 = ВН 2 + 9х 2 ;
4) S A ВС = 1/2 · AС · ВН; S A В C = 1/2 · 6х · 4х = 12х 2 .
Так как S A ВС = S BAD + S DAC = 10 + 12 = 22, тогда 22 = 12х 2 ;
х 2 = 11/6; ВН 2 = 16х 2 = 16 · 11/6 = 1/3 · 8 · 11 = 88/3.
5) Площадь квадрата равна ВН 2 = 88/3; 3 · 88/3 = 88.
Ответ: 88.
Задача 3.
В равнобедренном треугольнике основание равно 4, а боковая сторона равна 8. Найти квадрат высоты, опущенной на боковую сторону.
Решение.
В треугольнике АВС – равнобедренном ВС = 8, АС = 4 (рис. 3).
1) ВН – высота, проведенная к основанию АС треугольника АВС.
Так как точка Н – середина АС (по свойству равнобедренного треугольника), то НС = 1/2 АС = 1/2 · 4 = 2.
2) Из треугольника ВНС – прямоугольного по теореме Пифагора ВС 2 = ВН 2 + НС 2 ;
64 = ВН 2 + 4;
3) S ABC = 1/2 · (AC · BH), а так же S ABC = 1/2 · (АМ · ВС), тогда приравняем правые части формул, получим
1/2 · AC · BH = 1/2 · АМ · ВС;
АМ = (AC · BH)/ВС;
АМ = (√60 · 4)/8 = (2√15 · 4)/8 = √15.
Ответ: 15.
Задача 4.
В равнобедренном треугольнике основание и опущенная на него высота, равны 16. Найти радиус описанной около этого треугольника окружности.
Решение.
В треугольнике АВС – равнобедренном основание АС = 16, ВН = 16 – высота, проведенная к основанию АС (рис. 4) .
1) АН = НС = 8 (по свойству равнобедренного треугольника).
2) Из треугольника ВНС – прямоугольного по теореме Пифагора
ВС 2 = ВН 2 + НС 2 ;
ВС 2 = 8 2 + 16 2 = (8 · 2) 2 + 8 2 = 8 2 · 4 + 8 2 = 8 2 · 5;
3) Рассмотрим треугольник АВС: по теореме синусов 2R = AB/sin C, где R – радиус описанной около треугольника АВС окружности.
sin C = BH/BC (из треугольника ВНС по определению синуса).
sin C = 16/(8√5) = 2/√5, тогда 2R = 8√5/(2/√5);
2R = (8√5 · √5)/2; R = 10.
Ответ: 10.
Задача 5.
Длина высоты, проведенной к основанию равнобедренного треугольника, равна 36, а радиус вписанной окружности равен 10. Найти площадь треугольника.
Решение.
Пусть дан равнобедренный треугольник АВС.
1) Так как центр вписанной в треугольник окружности является точкой пересечения его биссектрис, то О ϵ ВН и АО является биссектрисой угла А, а ток же ОН = r = 10 (рис. 5) .
2) ВО = ВН – ОН; ВО = 36 – 10 = 26.
3) Рассмотрим треугольник АВН. По теореме о биссектрисе угла треугольника
АВ/АН = ВО/ОН;
АВ/АН = 26/10 = 13/5, тогда пусть АВ = 13х и АН = 5х.
По теореме Пифагора АВ 2 = АН 2 + ВН 2 ;
(13х) 2 = 36 2 + (5х) 2 ;
169х 2 = 25х 2 + 36 2 ;
144х 2 = (12 · 3) 2 ;
144х 2 = 144 · 9;
х = 3, тогда АС = 2 · АН = 10х = 10 · 3 = 30.
4) S ABC = 1/2 · (AC · BH); S ABC = 1/2 · (36 · 30) = 540;
Ответ: 540.
Задача 6.
В равнобедренном треугольнике две стороны равны 5 и 20. Найти биссектрису угла при основании треугольника.
Решение.
1) Предположим, что боковые стороны треугольника равны 5, а основание – 20.
Тогда 5 + 5 < 20, т.е. такого треугольника не существует. Значит, АВ = ВС = 20, АС = 5 (рис. 6).
2) Пусть LC = x, тогда BL = 20 – x. По теореме о биссектрисе угла треугольника
АВ/АС = ВL/LC;
20/5 = (20 – x)/x,
тогда 4х = 20 – x;
Таким образом, LC = 4; BL = 20 – 4 = 16.
3) Воспользуемся формулой биссектрисы угла треугольника:
AL 2 = AB · AC – BL · LC,
тогда AL 2 = 20 · 5 – 4 · 16 = 36;
Ответ: 6.
Остались вопросы? Не знаете, как решать геометрические задачи?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .
Первый урок – бесплатно!
сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Так как высота равнобедренного треугольника, опущенная на основание, является одновременно и биссектрисой и медианой, следовательно, она делит основание и угол при вершине на две равные части, образуя прямоугольный треугольник со сторонами a и b/2. Из теоремы Пифагора в таком треугольнике можно найти само основание, а затем рассчитать все остальные возможные данные. (рис.88.2) h^2+(b/2)^2=a^2 b=√(a^2-h^2)/2
Чтобы вычислить периметр равнобедренного треугольника, надо к двум боковым сторонам прибавить основание или приведенный выше радикал через высоту. P=2a+b=2a+√(a^2-h^2)/2
Площадь равнобедренного треугольника через высоту и основание по определению вычисляется как половина их произведения. Заменив основание на соответствующее ему выражение, получаем площадь через высоту и боковую сторону равнобедренного треугольника. S=hb/2=(h√(a^2-h^2))/4
В равнобедренном треугольнике равны не только боковые стороны, но и углы при основании, а так как в сумме они дают всегда 180 градусов, то любой из углов можно найти, зная другой. Первый угол вычисляется по теореме косинусов, приведенной для равных боковых сторон, а второй можно найти через разность от 180. (рис.88.1) cosα=(b^2+c^2-a^2)/2bc=(b^2+a^2-a^2)/2ba=b^2/2ba=b/2a cosβ=(a^2+a^2-b^2)/(2a^2)=(2a^2-b^2)/(2a^2) α=(180°-β)/2 β=180°-2α
Центральные медиана и биссектриса, опущенные на основание совпадают с высотой, а боковые медианы, высоты и биссектрисы можно найти по следующим формулам для равнобедренных треугольников. Чтобы вычислить их через высоту и боковую сторону, нужно заменить основание на эквивалентное ему выражение. (рис. 88.3) m_a=√(2a^2+2b^2-a^2)/2=√(a^2+2b^2)/2
Высота, опущенная на боковую сторону, через высоту, опущенную на основание и боковую сторону равнобедренного треугольника. (рис.88.8) h_a=(b√((4a^2-b^2)))/2a=(√(a^2-h^2) √((4a^2-a^2+h^2)))/2a=√((a^2-h^2)(3a^2+h^2))/2
Биссектрисы, направленные в боковые стороны, также могут быть выражены через боковую сторону и центральную высоту треугольника. (рис. 88.4) l_a=√(ab(2a+b)(a+b-a))/(a+b)=√(a(a^2-h^2)(2a+√(a^2-h^2)))/(a+√(a^2-h^2))
Средняя линия проводится параллельно любой стороне треугольника, соединяя середины боковых в ее отношении сторон. Таким образом, она всегда оказывается равна половине параллельной ей стороны. Вместо неизвестного основания в формулу можно подставить используемый радикал, чтобы найти среднюю линию через высоту и боковую сторону равнобедренного треугольника(рис. 88.5) M_b=b/2=√(a^2-h^2)/2 M_a=a/2
Радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, начинается от точки на пересечении биссектрис и уходит перпендикулярно в любую из сторон. Чтобы его найти через высоту и боковую сторону треугольника, надо заменить основание в формуле на радикал. (рис. 88.6) r=1/2 √(((a^2-h^2)(2a-√(a^2-h^2)))/(2a+√(a^2-h^2)))
Радиус окружности, описанной вокруг равнобедренного треугольника, также выводится из общей формулы путем подстановки радикала через высоту и боковую сторону вместо основания. (рис. 88.7) R=a^2/√(3a^2-h^2)