Данный онлайн-калькулятор предназначен для разложения функции на множители.
Например, разложить на множители: x 2 /3-3x+12 . Запишем как x^2/3-3*x+12 . Также можно использовать и этот сервис , где все выкладки сохраняются в формате Word .
Например, разложить на слагаемые . Запишем как (1-x^2)/(x^3+x) . Чтобы посмотреть ход решения, нажимаем Show steps . Если необходимо получить результат в формате Word используйте этот сервис .
Примечание : число "пи" (π) записывается как pi ; корень квадратный как sqrt , например, sqrt(3) , тангенс tg записывается как tan . Для просмотра ответа см. раздел Alternative .
- Если задано простое выражение, например, 8*d+12*c*d , то выражение разложить на множители означает представить выражение в виде сомножителей. Для этого необходимо найти общие множители. Данное выражение запишем как: 4*d*(2+3*c) .
- Представить произведение в виде двух двучленов: x 2 + 21yz + 7xz + 3xy . Здесь уже надо найти несколько общих сомножителей: x(x+7z) + 3y(x + 7z). Выносим (x+7z) и получаем: (x+7z)(x + 3y) .
см. также Деление многочленов уголком (показаны все шаги деления столбиком)
Полезным при изучении правил разложения на множители будут формулы сокращенного умножения , с помощью которых будет ясно, как раскрывать скобки с квадратом:
- (a+b) 2 = (a+b)(a+b) = a 2 +2ab+b 2
- (a-b) 2 = (a-b)(a-b) = a 2 -2ab+b 2
- (a+b)(a-b) = a 2 - b 2
- a 3 +b 3 = (a+b)(a 2 -ab+b 2)
- a 3 -b 3 = (a-b)(a 2 +ab+b 2)
- (a+b) 3 = (a+b)(a+b) 2 = a 3 +3a 2 b + 3ab 2 +b 3
- (a-b) 3 = (a-b)(a-b) 2 = a 3 -3a 2 b + 3ab 2 -b 3
Методы разложения на множители
Изучив несколько приемов разложение на множители можно составить следующую классификацию решений:- Использование формул сокращенного умножения.
- Поиск общего множителя.
Каждое натуральное число, кроме единицы, имеет два или более делителей. Например, число 7, делится без остатка только на 1 и на 7, то есть имеет два делителя. А у числа 8, делители 1, 2, 4, 8, то есть аж 4 делителя сразу.
Чем отличаются простые и составные числа
Числа, которые имеют более двух делителей, называются составными. Числа, которые имеют только два делителя: единица и само это число, называются простыми числами.
Число 1 имеет только один делить, а именно само это число. Единица не относится ни к простым, ни к составным числам.
- Например, число 7 простое, а число 8 составное.
Первые 10 простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Число 2 единственное четное простое число, все остальные простые числа нечетные.
Число 78 составное, так как помимо 1 и самого себя, оно делится еще и на 2. При делении на 2 получим 39. То есть 78= 2*39. В таких случаях говорят, что число разложили на множители 2 и 39.
Любое составное число можно разложить на два множителя, каждый из которых больше 1. С простым числом такой фокус не прокатит. Такие дела.
Разложение числа на простые множители
Как уже отмечалось выше, любое составное число, можно разложить на два множителя. Возьмем, к примеру, число 210. Это число можно разложить на два множителя 21 и 10. Но числа 21 и 10 тоже составные, разложим и их на два множителя. Получим 10 = 2*5, 21=3*7. И в итоге число 210 разложилось уже на 4 множителя: 2,3,5,7. Эти числа уже простые и их разложить нельзя. То есть мы разложили число 210 на простые множители.
При разложении составных чисел на простые множители, их обычно, записывают в порядке возрастания.
Следует запомнить, что любое составное число можно разложить на простые множители и причем единственным образом, с точностью до перестановки.
- Обычно, при разложении числа на простые множители пользуются признаками делимости.
Разложим число 378 на простые множители
Будем записывать числа, разделяя их вертикальной чертой. Число 378 делится на 2, так как оканчивается на 8. При делении получим число 189. Сумма цифр числа 189 делится на 3, значит и само число 189 делится на 3. В результате получим 63.
Число 63 тоже делится на 3, по признаку делимости. Получаем 21, число 21 снова можно разделить на 3, получим 7. Семерка делится только на себя, получаем единицу. На этом закончено деление. Справа после черты получились простые множители, на которые раскладывается число 378.
378|2
189|3
63|3
21|3
Всё начинается с
геометрической прогрессии. На первой
лекции по рядам (см. раздел 18.1.
Основные определения
)
мы доказали, что эта функция является
суммой ряда
,
и ряд сходится к функции при
.
Итак,
.
Выпишем несколько разновидностей этого ряда. Заменив х на -х , получим
при замене х
на 
получаем
и т.д.; область
сходимости всех этих рядов одна и та
же:
.
2.
.
Все производные
этой функции в точке х
=0
равны 
,
поэтому ряд имеет вид
.
Область сходимости
этого ряда - вся числовая ось (пример 6
раздела 18.2.4.3.
Радиус сходимости, интервал сходимости
и область сходимости степенного ряда
),
поэтому 
при 
.
Как следствие, остаточный член формулы
Тейлора 
.
Поэтому ряд сходится к
в любой точке
х
.
3.
.
Этот ряд абсолютно
сходится при 
,
и его сумма действительно равна 
.
Остаточный член формулы Тейлора имеетвид 
,
где 
или 
- ограниченная функция, а 
(это общий член предыдущего разложения).
4.
.
Это разложение можно получить, как и предыдущие, последовательным вычислением производных, но мы поступим по другому. Почленно продифференцируем предыдущий ряд:
Сходимость к функции на всей оси следует из теоремы о почленном дифференцировании степенного ряда.
5. Самостоятельно доказать, что на всей числовой оси , .
6.
.
Ряд для этой функции называется биномиальным рядом . Здесь мы будем вычислять производные.
…Ряд Маклорена имеет вид
Ищем интервал
сходимости:
, следовательно, интервал сходимости
есть 
.
Исследование остаточного члена и
поведение ряда на концах интервала
сходимости проводить не будем; оказывается,
что при 
ряд абсолютно сходится в обеих точках
,
при 
ряд условно сходится в точке 
и расходится в точке 
,
при 
расходится в обеих точках.
7.
.
Здесь мы воспользуемся
тем, что
.
Так как ,
то, после почленного интегрирования,
Область сходимости
этого ряда - полуинтервал 
,
сходимость к функции во внутренних
точках следует из теоремы о почленном
интегрировании степенного ряда, в точке
х
=1
- из непрерывности и функции, и суммы
степенного ряда во всех точках, сколь
угодно близких к х
=1
слева. Отметим, что взяв х
=1,
мы найдём сумму ряда .
8.
Почленно
интегрируя ряд ,
получим разложение для функции 
.
Выполнить все выкладки самостоятельно,
выписать область сходимости.
9.
Выпишем
разложение функции 
по формуле биномиального ряда с 
:
.
Знаменатель 
представлен как ,
двойной факториал 
означает произведение всех натуральных
чисел той же чётности, что и 
,
не превосходящих 
.
Разложение сходится к функции при
.
Почленно интегрируя его от 0 до х
,
получим .
Оказывается, что этот ряд сходится к
функции на всём отрезке
;
при х
=1
получаем ещё одно красивое представление
числа
:
.
18.2.6.2. Решение
задач на разложение функций в ряд.
Большинство
задач, в которых требуется разложить
элементарную функцию в ряд по степеням
,
решается применением стандартных
разложений. К счастью, любая основная
элементарная функция имеет свойство,
которое позволяет это сделать. Рассмотрим
ряд примеров.
1. Разложить функцию
по степеням 
.
Решение.
.
Ряд сходится при 
.
2. Разложить функцию
по степеням 
.
Решение.
.
Область сходимости: 
.
3. Разложить функцию
по степеням 
.
Решение.
.
Ряд сходится при 
.
4. Разложить функцию
по степеням 
.
Решение.
.
Ряд сходится при 
.
5. Разложить функцию
по степеням 
.
Решение.
.
Область сходимости 
.
6. Разложить функцию
по степеням 
.
Решение.
Разложение в ряд простых рациональных
дробей второго типа получается почленным
дифференцированием соответствующих
разложений дробей первого типа. В этом
примере .
Дальше почленным дифференцированием
можно получить разложения функций 
,
и т.д.
7. Разложить функцию
по степеням 
.
Решение.
Если рациональная дробь не является
простой, она сначала представляется в
виде суммы простых дробей: 
,
а затем действуем, как в примере 5: ,
где
.
Естественно, такой
подход неприменим, например, для
разложения функции 
по степеням х
.
Здесь, если надо получить несколько
первых членов ряда Тейлора, проще всего
найти значения в точке х
=0
требуемого количества первых производных.