Основные статистические характеристики. Расчет основных статистических характеристик и взаимосвязь результатов измерений

Основные статистические характеристики делят на две основные группы: меры центральной тенденции и характеристики вариации.

Центральную тенденцию выборки позволяют оценить такие статистические характеристики, как среднее арифметическое значение, мода, медиана.

Наиболее просто получаемой мерой центральной тенденции является мода. Мода (Мо) – это такое значение в множестве наблюдений, которое встречается наиболее часто. В совокупности значений (2, 6, 6, 8, 7, 33, 9, 9, 9, 10) модой является 9, потому что оно встречается чаще любого другого значения. В случае, когда все значения в группе встречаются одинаково часто, считают, что эта группа не имеет моды.

Когда два соседних значения в ранжированном ряду имеют одинаковую частоту и они больше частоты любого другого значения, мода есть среднее этих двух значений.

Если два несмежных значения в группе имеют равные частоты, и они больше частот любого значения, то существуют две моды (например, в совокупности значений 10, 11, 11, 11, 12, 13, 14, 14, 14, 17 модами являются 11 и 14); в таком случае группа измерений или оценок является бимодальной .

Наибольшей модой в группе называется единственное значение, которое удовлетворяет определению моды. Однако во всей группе может быть несколько меньших мод. Эти меньшие моды представляют собой локальные вершины распределения частот.

Медиана(Me) – середина ранжированного ряда результатов измерений. Если данные содержат четное число различных значений, то медиана есть точка, лежащая посередине между двумя центральными значениями, когда они упорядочены.

Среднее арифметическое значение для неупорядоченного ряда измерений вычисляют по формуле:

где
. Например, для данных 4,1; 4,4; 4,5; 4,7; 4,8 вычислим :

Каждая из выше вычисленных мер центра является наиболее пригодной для использования в определенных условиях.

Мода вычисляется наиболее просто – ее можно определить на глаз. Более того, для очень больших групп данных это достаточно стабильная мера центра распределения.

Медиана занимает промежуточное положение между модой и средним с точки зрения ее вычисления. Эта мера получается особенно легко в случае ранжированных данных.

Среднее множество данных предполагает в основном арифметические операции.

На величину среднего влияют значения всех результатов. Медиана и мода не требуют для определения всех значений. Посмотрим, что произойдет со средним, медианой и модой, когда удвоится максимальное значение в следующем множестве:

Множество 1: 1, 3, 3, 5, 6, 7, 8 33/7 5 3

Множество 2: 1, 3, 3, 5, 6, 7, 16 41/7 5 3

На величину среднего особенно влияют результаты, которые называют “выбросами”, т.е. данные, находящиеся далеко от центра группы оценок.

Вычисление моды, медианы или среднего – чисто техническая процедура. Однако выбор из этих трех мер и их интерпретация зачастую требуют определенного размышления. В процессе выбора следует установить следующее:

– в малых группах мода может быть совершенно нестабильной. Например, мода группы: 1, 1, 1, 3, 5, 7, 7, 8 равна 1; но если одна из единиц превратится в нуль, а другая – в два, то мода будет равна 7;

– на медиану не влияют величины “больших” и “малых” значений. Например, в группе из 50 значений медиана не изменится, если наибольшее значение утроится;

– на величину среднего влияет каждое значение. Если одно какое-нибудь значение меняется на c единиц, изменится в том же направлении на c/n единиц;

– некоторые множества данных не имеют центральной тенденции, что часто вводит в заблуждение при вычислении только одной меры центральной тенденции. Особенно это справедливо для групп, имеющих более чем одну моду;

– когда считают, что группа данных является выборкой из большой симметричной группы, среднее выборки, вероятно, ближе к центру большой группы, чем медиана и мода.

Все средние характеристики дают общую характеристику ряда результатов измерений. На практике нас часто интересует, как сильно каждый результат отклоняется от среднего значения. Однако легко можно представить, что две группы результатов измерений имеют одинаковые средние, но различные значения измерений. Например, для ряда 3, 6, 3 – среднее значение = 4; для ряда 5, 2, 5 – также среднее значение = 4, несмотря на существенное различие этих рядов.

Поэтому средние характеристики всегда необходимо дополнять показателями вариации, или колеблемости.

К характеристикам вариации , или колеблемости , результатов измерений относят размах варьирования, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации, стандартную ошибку средней арифметической.

Самой простой характеристикой вариации является размах варьирования . Его определяют как разность между наибольшим и наименьшим результатами измерений. Однако он улавливает только крайние отклонения, но не отражает отклонений всех результатов.

Чтобы дать обобщающую характеристику, можно вычислить отклонения от среднего результата. Например, для ряда 3, 6, 3 значения будут следующими: 3 – 4 = – 1; 6 – 4 = 2; 3 – 4 = – 1. Сумма этих отклонений (– 1) + 2 + (– 1) всегда равна 0. Чтобы избежать этого, значения каждого отклонения возводят в квадрат: (– 1) 2 + 2 2 + (– 1) 2 = 6.

Значение делает отклонения от средней более явственными: малые отклонения становятся еще меньше (0,5 2 =0,25), а большие – еще больше (5 2 = 25). Получившуюся сумму называют суммой квадратов отклонений . Разделив эту сумму на число измерений, получают средний квадрат отклонений, или дисперсию . Она обозначается s 2 и вычисляется по формуле:

Если число измерений не более 30, т.е. n ≤ 30, используется формула:

Величина n – 1 = k называется числом степеней свободы , под которым подразумевается число свободно варьирующих членов совокупности. Установлено, что при вычислении показателей вариации один член эмпирической совокупности всегда не имеет степени свободы.

Эти формулы применяются, когда результаты представлены неупорядоченной (обычной) выборкой.

Из характеристик колеблемости наиболее часто используется среднее квадратическое отклонение , которое определяется как положительное значение корня квадратного из значения дисперсии, т.е.:

Среднее квадратическое отклонение или стандартное отклонение характеризует степень отклонения результатов от среднего значения в абсолютных единицах и имеет те же единицы измерения, что и результаты измерения.

Однако для сравнения колеблемости двух и более совокупностей, имеющих различные единицы измерения, эта характеристика не пригодна.

Коэффициент вариации определяется как отношение среднего квадратического отклонения к среднему арифметическому, выраженное в процентах. Вычисляется он по формуле:

В спортивной практике колеблемость результатов измерений в зависимости от величины коэффициента вариации считают небольшой
(0 – 10 %), средней (11 – 20 %) и большой (V > 20 %).

Коэффициент вариации имеет большое значение в статистической обработке результатов измерений, т. к., будучи величиной относительной (измеряется в процентах), позволяет сравнивать между собой колеблемость результатов измерений, имеющих различные единицы измерения. Коэффициент вариации можно использовать лишь в том случае, если измерения выполнены в шкале отношений.

Разделы: Математика

Урок 1. «Среднее арифметическое, размах и мода»

Тип урока

Цели :

обучающая – формирование представления о простейших статистических характеристиках и их использовании при анализе данных, полученных в результате исследования;
развивающая
воспитательная – подготовка учащихся к проблемам современной жизни (понимание и интерпретация результатов статистических исследований).

Оборудование : проектор.

Ход урока

I. Организационный момент

Слышали ли вы когда-нибудь такую песню: «Потому что на десять девчонок по статистике девять ребят»? Как вы думаете, что это значит?

Сегодня мы познакомимся с новой наукой – статистикой. Узнаем, что она изучает и как можно применить те знания, которые вы сейчас получите.

III. Актуализация знаний

– Какое число называют средним арифметическим нескольких чисел?

(Средним арифметическим нескольких чисел называют частное от деления суммы этих чисел на число слагаемых).

Задача : дан ряд чисел 5, 6, 8, 12, 15, 4, 17, 8, 10, 15.

Найдите среднее арифметическое ряда чисел.
Найдите наибольшее и наименьшее значение ряда чисел, вычислите их разность.

IV. Первичное усвоение, осознание и осмысление нового материала

– Ребята, вы начинаете изучать новый предмет: «Элементы статистики и теории вероятностей».

– Где в реальной повседневной жизни мы сталкиваемся с этими науками?

– Вы что-нибудь слышали об этом разделе математики?

– А разве вам не приходилось подсчитывать среднюю скорость движения, средний бал ученика, класса. Подготовку человека к таким проблемам во всем мире осуществляет школьный курс математики, и в частности ее раздел «Математическая статистика».

Статистика – наука, которая занимается получением, обработкой и анализом количественных данных о разнообразных массовых явлениях, происходящих в природе и обществе. Слово «статистика» происходит от латинского слова status , которое означает «состояние, положение вещей». Статистика изучает численность отдельных групп населения страны и ее регионов, производство и потребление разнообразных видов продукции, перевозку грузов и пассажиров различными видами транспорта, природные ресурсы и многое другое. Результаты статистических исследований широко используются для практических и научных выводов. Вам было дано задание: измерить время, затраченное на выполнение домашнего задания по алгебре.

Мы получили следующие результаты: 27, 25, 26, 25, 40, 38, 38, 25 и т.д.

Имея этот ряд данных, можно определить, сколько минут в среднем затратили учащиеся на выполнение домашнего задания.

– Что для этого нужно сделать? (сложить все числа и разделить полученную сумму на их количество).

Число 28, полученное в результате, называют средним арифметическим рассматриваемого ряда. Обозначение: .

Мы вычислили, что на выполнение домашнего задания по алгебре учащиеся затратили в среднем 28 минут. Проводя аналогичные наблюдения, можно проследить, какова была средняя затрата времени на выполнение в какой-либо день домашнего задания по алгебре и русскому языку.

Заметим, что иногда вычисление среднего арифметического не дает полезной информации, так как время, затраченное некоторыми учащимися, значительно отличается от среднего арифметического.

Наибольший расход времени равен 40 минут, а наименьший расход времени равен 18 минут. Разность между наибольшим и наименьшим значением называется размахом ряда .

Размах ряда находят тогда, когда хотят определить, как велик разброс данных в ряду.

Ребята, нас могут интересовать не только среднее арифметическое и размах, но и другие показатели.

Например, интересно знать, какое число встречается в ряду данных чаще всего.

Таким числом является число 25. Число, наиболее часто встречающееся в данном ряду, называется модой чисел.

Ряд может иметь две моды, а может не иметь моды. Например, 47, 46, 50, 52, 47, 49, 52, 55 – имеет две моды: 47 и 52.

69, 68, 66, 70, 67, 71, 74, 63, 73, 72 – этот ряд не имеет моды.

– Ребята, где еще можно встретить понятие моды ряда чисел?

– Данные о размерах мужских сорочек, проданных в определенный день в универмаге. Здесь мода – размер пользующихся спросом, мода – цены на товар распространенный на рынке и т.п.

V. Закрепление изученного материала

При выставлении оценок учитель также вычисляет среднее арифметическое ваших текущих оценок.

Сейчас вы получите выписку ваших оценок по алгебре за I четверть.

Вы должны вычислить среднее арифметическое, моду и размах.

VI. Подведение итогов урока

«В среднем в день ребёнок улыбается 400 раз, взрослый - 17. Теперь все улыбнулись, чтобы испортить статистику»

VIII. Рефлексия

п. 9, 168 (а, б), 172, 178

Урок 2. «Медиана как статистическая характеристика»

Тип урока : ознакомление с новым материалом.

Цели :

обучающая – ввести понятие медианы, организовать деятельность учащихся по закреплению медианы, среднего арифметического, размаха и моды, обеспечить отработку навыка их применения при выполнении различных заданий;
развивающая – знакомство с разделом математики: «статистика и теория вероятностей» и его местом в системе научного познания мира;
воспитательная – подготовка учащихся к проблемам современной жизни (понимание и интерпретация результатов статистических исследований).

Оборудование : проектор

Ход урока

I. Организационный момент

II. Проверка домашнего задания

III. Сообщение темы и целей урока

Сегодня на уроке мы повторим алгоритм нахождения среднего арифметического, размаха и моды, и узнаем, как находится еще одна характеристика – медиана.

IV. Актуализация опорных знаний учащихся

1. Фронтальный опрос.

Что называется средним арифметическим ряда чисел? Может ли среднее арифметическое ряда чисел не совпадать ни с одним из этих чисел?
Что называется модой ряда чисел? Любой ли ряд чисел имеет моду? Может ли ряд чисел иметь более одной моды? Может ли мода ряда чисел не совпадать ни с одним из этих чисел?

2. Устный счет.

а) Дан ряд чисел: 3, 5, 1, 7, 9. Найти среднее арифметическое, размах и моду.
б) Дан ряд чисел: 1, 2, 2, 5, 5. Найти среднее арифметическое, размах и моду.

V. Первичное усвоение, осознание и осмысление нового материала

Задача . В небольшой фирме 10 сотрудников: 7 рабочих, мастер, бухгалтер, директор. Зарплата у рабочих: 2000, у мастера 4000, у бухгалтера 16000, у директора 40000. Найдите чему будет равна средняя зарплата на этом предприятии?

Но достаточно ли этой характеристики работнику, который устраивается работать рабочим? (Нет)

В этом случае используют другую статистическую характеристику – медиану.

Запишем алгоритм нахождения медианы набора чисел:

Упорядочить числовой набор.
Одновременно зачеркиваем “самое большое” и “самое маленькое” числа данного набора чисел до тех пор, пока не останется одно число или два числа.
Если осталось одно число, то оно и есть медиана.
Если осталось два числа, то медианой будет среднее арифметическое двух оставшихся чисел.

Медиану используют вместо средней арифметической, когда крайние варианты упорядоченного ряда (наименьшая и наибольшая) по сравнению с остальными оказываются чрезмерно большими или чрезмерно малыми.

VI. Закрепление изученного материала

Задача 2 . В таблице приведена информация о длине основных рек, протекающих по территории округа Домодедово Московской области.

а) Найдите среднюю длину рек (среднее арифметическое);
б) Найдите длину рек в среднем (медиану данных);
в) По вашему мнению, какая из этих характеристик – среднее арифметическое или медиана – лучше описывает длину рек, протекающих в Домодедовском районе? Ответ объясните.

Ответ: а) 186 км, б) 41 км, в) медиана, т.к. данные содержат значения сильно отличающиеся от всех прочих.

Итак, для характеристики статистической информации используют среднее арифметическое и медиану. Во многих случаях одна из характеристик может не иметь никакого содержательного смысла.

VI. Подведение итогов урока

У статистиков есть шутка: средняя глубина озера 0,5 м, а корова все-таки утонула. Как вы понимаете эту фразу?

Выставление оценок за работу на уроке.

VIII. Рефлексия

Раздать карточки для рефлексии.

<Приложение 1>

VII. Постановка домашнего задания п.10, 187, 190, 193

Урок 3. «Статистические характеристики»

Тип урока : закрепление изученного.

Цели :

обучающая – закрепить полученные знания и умения, применять статистические характеристики при решении простейших задач;
развивающая –
воспитательная – подготовка учащихся к проблемам современной жизни, воспитание познавательной активности, культуры диалога.

Оборудование : карточки для выполнения проверочной работы.

Ход урока

I. Организационный момент

II. Проверка домашнего задания, уточнение направлений актуализации материала

<Приложение 2>

III. Сообщение темы, цели и задач урока, мотивация учения

Сегодня на уроке мы продолжим находить основные статистические характеристики числовых рядов.

IV. Воспроизведение изученного и их первичное применение в новых или измененных условиях с целью формирования умений

1. Фронтальный опрос

Что такое статистика?
Что называется средним арифметическим ряда чисел?
Что называется размахом ряда чисел?
Что называется модой ряда чисел?
Любой ли ряд имеет моду?
Может ли ряд иметь более одной моды?
Может ли мода ряда чисел не совпадать ни с одним из этих чисел?
Что называется медианой ряда чисел?
Какой ряд называется упорядоченным рядом чисел?

2. Решение задач

В таблице приведены расходы учащегося 7 класса за 4 дня:

Определить какая статистическая характеристика находится в каждом задании:

а) 100+75+50+75=30;
300:4=75;
___=75 р.
Б) 50, 75, 75, 100;
(75+75):2 = 75;
___=75 р.
В) 100, 75, 50, 75;
___=75 р.
Г) 100-50=50;
___=50 р.

3. Решение заданий повышенной сложности

V. Проверочная работа

Выдаются карточки с заданием. Эти карточки подписываются учащимися. Задания выполняются на этих карточках в течение 3-5 минут.

Ребята меняются карточками. И по готовым ответам на доске проверяют работы друг друга и выставляют отметки согласно предложенным критериям.

Оценка: «5» – всё верно; «4» – 3 задания выполнены верно; «3» – 2 задания выполнены верно; «2» – выполнено верно менее двух зданий.

Работы сдаются учителю для просмотра и анализа усвоения материала.

VI. Подведение итогов урока

Выставление оценок за урок.

VII. Рефлексия

Раздать карточки для рефлексии.

<Приложение 1>

VIII. Постановка домашнего задания №182, №183, №193

Провести сбор информации на тему: «Размер обуви учеников 7 класса», «Рост учеников 7 класса», «Количество детей в семье учеников 7 класса» (в трех экземплярах) < Приложение 5 >

Урок 4. «Статистические характеристики нашего класса»

Тип урока : обобщения и систематизации знаний.

Цели :

обучающая – повторение и закрепление пройденного материала, введение понятия статистического исследования, продемонстрировать удобные способы упорядочивания и систематизации больших объёмов информации;
развивающая – развитие математически грамотной речи, логического мышления;
воспитательная – воспитание познавательной активности, культуры диалога.

Оборудование : таблицы для заполнения данных.

Ход урока

I. Организационный момент

II. Сообщение темы и целей урока

– На перемене я собрала ответы на все ваши вопросы. Все готовы приступить к групповому исследованию. Начинаем заключительный урок по теме “Статистические характеристики”.

III. Воспроизведение и коррекция опорных знаний

Что такое статистика?
Какие статистические характеристики вы знаете?

IV. Обобщение и систематизация понятий, усвоение системы знаний и их применение для объяснения новых фактов и выполнения практических заданий

Сегодня на уроке мы проведем с вами статистическое исследование.

Запишем основные этапы статистического исследования:

Сбор данных.
Систематизация данных – представление данные в табличном виде.
Анализ данных – нахождение статистических характеристик, выводы.

Рассмотрим следующую задачу:

В женском обувном магазине провели статистические исследования и составили соответствующую таблицу по цене обуви и количества продаж:

Первый и второй этап статистического исследования уже пройдены: данные собраны и систематизированы. Осталось произвести анализ данных.

Для данных показателей надо найти статистические характеристики и объяснить их значение. После ученики должны ответить на следующие вопросы:

Из данных ценовых категорий, обувь за какую цену не следует продавать магазину?
Обувь, по какой цене следует распространять?
К какой цене лучше стремиться?

По каким параметрам еще можно провести статистические исследования в обувном магазине?

V. Усвоение ведущих идей и основных теорий на основе широкой систематизации знаний

Проведем собственное статистическое исследование. У вас было домашнее задание: принести данные о своем росте, размере обуви и количестве детей в семье.

Сейчас каждый ряд получит свое задание <Приложение 5 >:

Провести статистическое исследование роста учащихся вашего класса.
Провести статистическое исследование размера обуви.
Провести статистическое исследование количества детей в семье.

Так как статистическое исследование состоит из трех этапов, а первый этап – сбор данных мы уже провели, то вы можете переходить ко второму этапу – систематизации данных. Для этого данные занесите в таблицы.

После того как вы провели систематизацию данных, можно переходить к следующему этапу – анализу данных. Найдите статистические характеристики: среднее арифметическую, моду, медиану и размах ряда. Сделайте выводы.

VI. Подведение итогов урока

Вы все отлично справились с заданием. Выставление оценок за работу на уроке.

VII. Постановка домашнего задания

Провести исследование на тему: «Рост учащихся 8 класса».

VII. Рефлексия

Раздать карточки для рефлексии.

<Приложение 1>

Медиана (Me) – середина ранжированного ряда результатов измерений. Если данные содержат четное число различных значений, то медиана есть точка, лежащая посередине между двумя центральными значениями, когда они упорядочены.

Среднее арифметическое значение для неупорядоченного ряда измерений вычисляют по формуле:

где . Например, для данных 4,1; 4,4; 4,5; 4,7; 4,8 вычислим :

Среднее множество данных предполагает в основном арифметические операции.

Множество 1: 1, 3, 3, 5, 6, 7, 8 33/7 5 3

Множество 2: 1, 3, 3, 5, 6, 7, 16 41/7 5 3

Поэтому средние характеристики всегда необходимо дополнять показателями вариации, или колеблемости.

Если число измерений не более 30, т.е. n ≤ 30, используется формула:

Эти формулы применяются, когда результаты представлены неупорядоченной (обычной) выборкой.

2.4.2. Анализ статистических данных в MS Excel. Инструменты анализа: описательная статистика, корреляция.

В состав электронных таблиц Microsoft Excel входит так называемый пакет анализа – набор инструментов, предназначенный для решения сложных статистических задач. Данный пакет производит анализ статистических данных с помощью макрофункций и позволяет, выполнив одно действие, получить на выходе большое количество результатов. В пакете анализа, имеющемся в Excel, среди прочих инструментов анализа имеется разделы «Описательная статистика» и «Корреляция».

Инструмент «Описательная статистика» позволяет нам получить значительный перечень рассчитанных статистических характеристик для большого количества числовых рядов. С помощью инструмента «Корреляция» мы получаем корреляционную матрицу, содержащую все возможные парные коэффициенты корреляции. Для k рядов будет получено k (k – 1)/2 коэффициентов корреляции.

Пакет анализа вызывается с помощью пункта меню Сервис – Анализ данных… Если этот пункт меню отсутствует, значит, пакет анализа не установлен. Для его установки надо вызвать пункт меню Сервис – Надстройки… и включить надстройку «Пакет анализа», ОК (см. рисунок 1).

Рисунок 1. Диалоговое окно включения/выключения надстроек

После включения надстройки «Пакет анализа» будет доступен пункт меню Сервис – Анализ данных… При его выборе появляется следующее диалоговое окно (рисунок 2).

Рисунок 2. Диалоговое окно выбора инструмента для анализа данных

После выбора инструмента «Описательная статистика» и нажатия ОК появится еще одно диалоговое окно (рисунок 3), требующее ввода входных данных и места вывода результатов. Здесь достаточно в поле «Входной интервал» ввести диапазон ячеек, содержащих исходные данные. Можно указать диапазон с заголовками столбцов, в этом случае потребуется включить флажок «Метки в первой строке». Для указания выходного интервала достаточно указать только левую верхнюю ячейку диапазона. Результаты вычисления автоматически займут требуемое количество строк и столбцов в таблице.

Рисунок 3. Диалоговое окно инструмента «Описательная статистика»

Рассмотрим работу инструмента анализа «Описательная статистика» на следующем примере. В процессе обследования группы школьников (n = 21) измерялись следующие показатели: рост, масса тела, динамометрия правой и левой руки, жизненная емкость легких, проба Штанге и проба Генчи. Результаты были занесены в таблицу (рисунок 4).

Для получения статистических характеристик воспользуемся пакетом анализа, инструментом «Описательная статистика». В поле «Входной интервал» занесем диапазон ячеек В1:Н22. Так как выделенный входной интервал содержит заголовки столбцов, включаем флажок «Метки в первой строке». Для удобства работы в качестве места выхода результата выбираем «Новый рабочий лист». В качестве выводимых данных отметим флажками «Итоговая статистика» и «Уровень надежности: 95 %». Последний флажок позволит вывести параметры доверительного интервала с доверительной вероятностью 0,95. Полученный результат после небольшого форматирования будет выглядеть так, как показано на рисунке 5.

Рисунок 4. Результаты обследования группы школьников

Рисунок 5. Результат работы инструмента «Описательная статистика»

После выбора инструмента «Корреляция» и нажатия ОК в диалоговом окне «Анализ данных» (рисунки 2, 6) появится еще одно диалоговое окно (рисунок 7), требующее ввода входных данных и места вывода результатов. Здесь достаточно в поле «Входной интервал» ввести диапазон ячеек, содержащих исходные данные. Можно указать диапазон с заголовками столбцов, в этом случае потребуется включить флажок «Метки в первой строке». Для указания выходного интервала достаточо указать только левую верхнюю ячейку диапазона. Результаты вычисления автоматически займут требуемое количество строк и столбцов в таблице.

Рисунок 6. Диалоговое окно выбора инструмента для анализа данных

Рисунок 7. Диалоговое окно инструмента «Корреляция»

Рассмотрим работу инструмента анализа «Корреляция» на примере, представленном на рисунке 4.

Для получения корреляционной матрицы воспользуемся пакетом анализа, инструментом «Корреляция». В поле «Входной интервал» занесем диапазон ячеек В1:Н22. Так как выделенный входной интервал содержит заголовки столбцов, включаем флажок «Метки в первой строке». Для удобства работы в качестве места выхода результата выбираем «Новый рабочий лист». Полученный результат после небольшого форматирования будет выглядеть так, как показано на рисунке 8.

Рисунок 8. Корреляционная матрица

Таким образом, путем выполнения несложных операций мы получаем большое количество результатов вычислений. Стоит отметить, что хотя информационные технологии открывают перед исследователем возможности получения огромного количества информации для анализа, отбор наиболее информативных результатов, окончательная интерпретация и формулировка выводов – работа самого исследователя.

Основные понятия корреляционного анализа экспериментальных данных. Оценка коэффициента корреляции по экспериментальным данным.

В спортивных исследованиях между изучаемыми показателями часто обнаруживается взаимосвязь. Вид ее бывает различным. Например, определение ускорения по известным данным скорости, второй закон Ньютона и другие характеризуют так называемую функциональную зависимость, или взаимосвязь, при которой каждому значению одного показателя соответствует строго определенное значение другого.

К другому виду взаимосвязи относят, например, зависимость веса от длины тела. Одному значению длины тела может соответствовать несколько значений веса и наоборот. В таких случаях, когда одному значению одного показателя соответствует несколько значений другого, взаимосвязь называют статистической .

Изучению статистической взаимосвязи между различными показателями в спортивных исследованиях уделяют большое внимание, поскольку это позволяет вскрыть некоторые закономерности и в дальнейшем описать их как словесно, так и математически с целью использования в практической работе тренера и педагога.

Среди статистических взаимосвязей наиболее важны корреляционные . Корреляция – это статистическая зависимость между случайными величинами, при которой изменение одной из случайных величин приводит к изменению математического ожидания (среднего значения) другой. Например, толкание ядра 3 кг и 5 кг. Улучшение результатов толкания ядра 3 кг вызывает улучшение (в среднем) результата в толкании ядра весом 5 кг.

Статистический метод, который используется для исследования взаимосвязей, называется корреляционным анализом . Основной задачей его является определение формы, тесноты и направленности взаимосвязи изучаемых показателей. Корреляционный анализ позволяет исследовать только статистическую взаимосвязь. Он широко используется в теории тестов для оценки их надежности и информативности. Различные шкалы измерений требуют разных вариантов корреляционного анализа.

Величина коэффициента взаимосвязи рассчитывается с учетом шкалы, использованной для измерений.

Для оценки взаимосвязи, когда измерения производят в шкале отношений или интервалов и форма взаимосвязи линейная, используется коэффициент корреляции Бравэ-Пирсона (коэффициенты корреляции для других шкал измерения в данном пособии не рассматриваются). Обозначается он латинской буквой – r. Вычисление значения r чаще всего производят по формуле:

где и – средние арифметические значения показателей x и y, и – средние квадратические отклонения, n – число измерений (испытуемых).

В некоторых случаях тесноту взаимосвязи определяют на основании коэффициента детерминации D, который вычисляется по формуле:

Этот коэффициент определяет часть общей вариации одного показателя, которая объясняется вариацией другого показателя. Например, коэффициент корреляции r = –0,677 (между результатами в беге на 30 м с ходу и тройном прыжке с места). Коэффициент детерминации равен:

Следовательно, 45,8 % рассеяния спортивного результата в тройном прыжке объясняется изменением результатов в беге на 30 м. Иными словами, на оба исследуемых признака действуют общие факторы, вызывающие варьирование этих признаков, и доля общих факторов составляет 45,8%. Остальные 100% – 45,8% = 54,2% приходятся на долю факторов, действующих на исследуемые признаки избирательно.

Оценить статистическую достоверность коэффициента корреляции – это значит определить, существует или нет линейная корреляционная связь между генеральными совокупностями или, что то же, установить, существенно или несущественно отличается от нуля коэффициент корреляции между выборками. Эта задача может быть решена с помощью таблиц критических точек распределения коэффициента корреляции в следующем порядке:

1. Выдвигаются статистические гипотезы. Гипотеза Н 0 предполагает отсутствие статистически значимой взаимосвязи между исследуемыми показателями (r ген =0). Гипотеза Н 1 предполагает, что существует статистически достоверная взаимосвязь между показателями (r ген >0).

2. Рассчитывается наблюдаемое значение коэффициента корреляции r набл .

3. Находится по таблице критическое значение коэффициента корреляции r крит в зависимости от объема выборки n , уровня значимости a и вида критической области (односторонняя или двусторонняя).

3. Сравнивается r набл и r крит .

Если r набл < r крит – статистически недостоверным (незначимым). Принимается гипотеза Н 0 Если r набл ≥ r крит , коэффициент корреляции считается статистически достоверным (значимым). Принимается гипотеза Н 1 .

Одна из основных задач статистики состоит в надлежащей обработке информации. Конечно, у статистики есть много других задач: получение и хранение информации, выработка различных прогнозов, оценка их достоверности и т. д. Но ни одна из этих целей не достижима без обработки данных. Поэтому, сперва необходимо выделить основные характеристики статистических данных.

Электронные таблицы Excel имеют огромный набор средств для анализа статистических данных. Наиболее часто используемые статистические функции встроены в основное ядро программы, то есть эти функции доступны с момента запуска программы. Другие более специализированные функции входят в дополнительную подпрограмму, называемую пакетом анализа. Команды и функции пакета анализа называют Инструментами анализа.

Рассмотрим основные характеристики выборочных данных.

Среднее значение.

С помощью среднего значения вычисляют выборочное (или генеральное) среднее, то есть среднее арифметическое значение признака выборочной (или генеральной) совокупности. В Excel среднее значение вычисляется так: =СУММ(F4:F60)/СЧЁТ(F4:F60). Также в Excel существует функция для его вычисления: СРЗНАЧ. Аргументом функции является набор чисел, как правило, задаваемый в виде интервала ячеек, например: =СРЗНАЧ (А3:А201).

Выборочная дисперсия и выборочное среднее квадратическое отклонение.

Выборочной дисперсией значений случайной величины Х называется среднее арифметическое квадратов отклонений наблюдаемых значений этой величины от их среднего арифметического:

Дисперсия характеризует отклонение от средней в квадратных единицах измерения признака, поэтому используют такой показатель, как среднее квадратичное отклонение, который измеряется в тех же единицах, что и изучаемый признак.

Выборочное среднее квадратичное отклонение определяется формулой:

Excel имеются функции, отдельно вычисляющие выборочную дисперсию Dв стандартное отклонение в и генеральные дисперсию D г и стандартное отклонение г. Поэтому, прежде чем вычислять дисперсию и стандартное отклонение, следует четко определиться, являются ли ваши данные генеральной совокупностью или выборочной. В зависимости от этого нужно использовать для расчета D г и г, Dв и в .

Вычисление выборочной дисперсии Dв и выборочного стандартного отклонения в производится с помощью функций: = СУММ((4: 60 ? 28)^2)/ (СЧЁТ(4: 60)) и = КОРЕНЬ(29).

В Excel имеются функции ДИСП (или VAR) и СТАНДОТКЛОН (или STDEV).

Аргументом этих функций является набор чисел, как правило, заданный диапазоном ячеек, например, =ДИСП (В1:В48).

Для вычисления генеральной дисперсии D г и генерального стандартного отклонения г имеются функции ДИСПР (или VARP) и СТАНДОТКЛОНП (или STDEVP), соответственно.

Аргументы этих функций такие же, как и для выборочной дисперсии.

Объем совокупности.

Объем совокупности выборочной или генеральной - это число элементов совокупности. Функция СЧЕТ (или COUNT) определяет количество ячеек в заданном диапазоне, которые содержат числовые данные. Пустые ячейки или ячейки, содержащие текст, функция СЧЕТ пропускает. Аргументом функции СЧЕТ является интервал ячеек, например: =СЧЕТ (С2:С16).

Для определения количества непустых ячеек, независимо от их содержимого, используется функция СЧЕТ3. Ее аргументом является интервал ячеек.

Мода и медиана.

Мода (?) - это значение признака, которое чаще других встречается в совокупности данных. Она вычисляется функцией МОДА (или MODE). Ее аргументом является интервал ячеек с данными. Мода не вычисляется при исследовании НСВ.

Медиана (?) - это значение признака, которое разделяет совокупность на две равные по числу элементов части. Для вариационного ряда с нечётным числом членов медиана равна серединному варианту, а для ряда с чётным числом членов - полусумме двух серединных вариантов. Она вычисляется функцией МЕДИАНА (или MEDIAN). Ее аргументом является интервал ячеек.

Размах варьирования. Наибольшее и наименьшее значения.

Размах варьирования R - это разность между наибольшим x max и наименьшим xmin значениями признака совокупности (генеральной или выборочной): R =x max-x min.

Для нахождения наибольшего значения x max имеется функция МАКС (или MAX), а для наименьшего x min - функция МИН (или MIN). Их аргументом является интервал ячеек. Для того, чтобы вычислить размах варьирования данных в интервале ячеек, например, от А1 до А100, следует ввести формулу: =МАКС (А1:А100)-МИН (А1:А100).

Коэффициент вариации. Вычисляется как процентное соотношение выборочного среднего квадратичного отклонения к средней арифметической.

Если коэффициент вариации высок (более 35%), то выборочная совокупность считается неоднородной. Следовательно, использование среднего для её характеристики является неверным. В этом случае используют моду или медиану.

Для оценки отклонения распределения данных эксперимента от нормального распределения используются такие характеристики как асимметрия А и эксцесс Е .

Для нормального распределения А =0 и Е =0.

Асимметрия показывает, на сколько распределение данных несимметрично относительно нормального распределения: если А >0, то большая часть данных имеет значения, превышающие среднее; если А <0, то большая часть данных имеет значения, меньшие среднего. Асимметрия вычисляется функцией СКОС. Ее аргументом является интервал ячеек с данными, например, =СКОС (А1:А100).

Эксцесс оценивает «крутость», т.е. величину большего или меньшего подъема максимума распределения экспериментальных данных по сравнению с максимумом нормального распределения. Если Е >0, то максимум экспериментального распределения выше нормального; если Е <0, то максимум экспериментального распределения ниже нормального. Эксцесс вычисляется функцией ЭКСЦЕСС, аргументом которой являются числовые данные, заданные, как правило, в виде интервала ячеек, например: =ЭКСЦЕСС (А1:А100). [см. 5]

Получаем следующие вычисления (рисунок 14).

Рисунок 14 Вычисление основных характеристик

Получили следующие значения (рисунок 15).

Рисунок 15 Значения основных характеристик

Так как значение коэффициента вариации значительно превышает 35%, выборка является неоднородной и в качестве среднего значения используется медиана.

Ключевые слова конспекта: статистические характеристики, статистические исследования, выборка, варианта, объем выборки, среднее арифметическое, вариационный ряд, размах ряда, мода выборки, медиана ряда.

Статистические исследования

Для изучения, обработки и анализа количественных данных различных массовых социально-экономических процессов и явлений проводят статистические (от латинского слова status - «состояние, положение вещей») исследования . Уже в древних государствах вели учёт населения, способного платить налоги. С развитием общества потребовались научные методы обработки и анализа самых разнообразных сведений. Так, в XIX в. появилась биологическая статистика, названная биометрикой и изучающая численные характеристики отдельных биологических особей и их популяций. Можно назвать ещё более десятка различных статистик: экономическая, финансовая, налоговая, демографическая, медицинская, метеорологическая и т. д.

Каждое статистическое исследование состоит из сбора и обработки информации . На основе полученных данных составляются различные прогнозы, оценивается их достоверность и т.д. Важной задачей, без которой статистические данные теряют всякий смысл, является обработка полученных данных.

Рассмотрим пример . Учащимся двух седьмых классов был предложен тест по математике, состоящий из 10 заданий. При проверке работ отмечали количество заданий, верно выполненных учащимися. Получили два ряда чисел:

7 «А» класс: 8; 7; 2; 5; 10; 9; 8; 7; 7; 10; 9; 6; 5; 8; 8; 10; 9; 9; 10; 7; 9; 10; 7; 9; 6;
7 «Б» класс: 8; 7; 8; 6; 9; 9; 7; 8; 7; 9; 9; 6; 5; 8; 7; 10; 9; 10; 10; 7; 8; 9; 7; 9; 9.

Ряд данных, полученных в результате статистического исследования, называют выборкой , а каждое число этого ряда - вариантой выборки. Количество чисел в ряду называют объёмом выборки . В нашем примере объёмом выборки является количество учащихся каждого класса, участвовавших в тестировании. В каждом случае объём выборки равен 25.

Имея приведённые выше два ряда данных, трудно сравнить результаты выполнения теста учащимися двух классов. А если рассматривать результаты, которые показали все семиклассники города или целого региона, то информация будет столь громоздкой, что окажется бесполезной. Потому для статистической обработки данных рассматривают различные статистические характеристики .

Среднее арифметическое. Вариационный ряд

Одной из характеристик, широко применяемых в статистических исследованиях, является среднее арифметическое .

✅ Определение . Средним арифметическим ряда данных называется частное суммы всех вариант ряда и количества вариант.

Поскольку количество вариант - это объём выборки, то среднее арифметическое выборки есть частное суммы всех вариант и объёма выборки.

Рассмотрим пример . Найдём средний балл, который получили учащиеся 7 «А» класса при выполнении теста:

Такой подсчёт среднего арифметического выборки не очень удобен. Можно поступать иначе. Перепишем выборку для 7 «А» класса, расположив её варианты так, чтобы каждая следующая была не меньше предыдущей. Получим:
2; 5; 5; 6; 6; 7; 7; 7; 7; 7; 8; 8; 8; 8; 9; 9; 9; 9; 9; 9; 10; 10; 10; 10; 10.

Такую запись выборки называют упорядоченным рядом данных (или вариационным рядом ). Теперь легко видеть, что 2 балла получил один ученик, 5 баллов - два ученика, 6 баллов - два ученика, 7 баллов - пять учеников и т.д. Количество появлений одной и той же варианты в выборке называют частотой этой варианты. Так, например, частота варианты 7 равна 5, частота варианты 10 равна 5. Составим таблицу частот вариант для учащихся 7 «А» класса. В первой строке запишем все возможные количества баллов, которые могли получить учащиеся при выполнении теста, т.е. числа от 0 до 10. Во второй строке запишем соответствующие частоты, т.е. число учащихся, получивших указанное количество баллов.

Проверим, не ошиблись ли мы при подсчёте частот: сумма частот должна быть равна объёму выборки. Действительно, 0 + 0 + 1+ 0 + 0 + 2 + 2 + 5 + 4 + 6 + 5 = 25 (естественно, нули можно не писать). Теперь можно вычислить среднее арифметическое выборки проще:

Заметим, что среднее арифметическое упорядоченного ряда данных и среднее арифметическое выборки - одно и то же число. Составим таблицу частот выборки для 7 «Б» класса.

Заметим, что обычно в таблицу частот не включают варианты, частоты которых равны нулю. В этом случае таблица частот для 7 «Б» класса будет такой:

Найдём объём выборки: 1 + 2 + 6 + 5 + 8 + 3 = 25. Теперь найдём среднее арифметическое:

Зная средние баллы учащихся 7 «А» и 7 «Б» классов, можно сделать вывод, что учащиеся 7 «Б» в целом выполнили тест лучше, поскольку 8,04 > 7,8 .

Составленные таблицы частот позволяют сделать и другие полезные выводы по итогам проведённого тестирования. Например, для первой выборки (результаты учащихся 7 «А» класса) наименьший полученный балл равен 2, наибольший - 10. Результаты всех учащихся класса располагаются между этими числами. Для второй выборки наименьшая варианта равна 5, наибольшая - 10. Это может означать, что 7 «Б» класс по своей математической подготовке является более однородным, чем 7 «А».

Размах ряда. Мода выборки

Ещё одним показателем, который используется при анализе статистических данных, является размах ряда .

✅ Определение. Разность наибольшей и наименьшей вариант выборки называют размахом ряда .

В рассмотренном ранее примере размах первой выборки (или упорядоченного ряда данных) равен 10 — 2 = 8, а второй 10-5 = 5. Размах выборки находят в том случае, когда существенной для исследования является величина разброса данных в ряду. К примеру, в метеорологии важна не только среднесуточная температура, но и численная характеристика колебания температуры воздуха в течение суток, т. е. размах выборки.

Заметим, что на практике при анализе данных, полученных в результате исследования, бывает удобно использовать ещё одну статистическую характеристику - так называемую моду выборки .

✅ Определение. Варианта выборки, имеющая наибольшую частоту, называется модой выборки .

В рассмотренном примере с изучением результатов тестирования, проведённого в двух седьмых классах, модой и первого, и второго ряда является число 9, которое и в первой, и во второй выборке встречается чаще других.

Моду ряда находят тогда, когда нужно выявить типичный для данной выборки показатель. Если, например, изучаются данные о размерах мужских рубашек, проданных в магазине в определённый день, то удобно бывает воспользоваться таким показателем, как мода, который характеризует размер, пользующийся наибольшим спросом.

Если в выборке два числа встречаются с одинаковой частотой, превосходящей частоты, с которыми встречаются другие числа, то обе эти варианты являются модой для данного ряда. Так, в ряду 2; 3; 3; 3; 5; 5; 6; 6; 6; 7; 8; 8 две моды - это числа 3 и 6. Может случиться, что в выборке будет более двух мод или не будет моды совсем. Например, ряд 2; 2; 3; 3; 4; 4; 5; 5 не имеет моды.

Медиана ряда

Ещё одной характеристикой, используемой в статистике, является медиана ряда .

Рассмотрим пример . Сотрудники лаборатории приобрели акции одного предприятия. Количество акций, приобретённых сотрудниками, оказалось таким: 2; 3; 5; 6; 8; 9; 51. Нужно оценить среднее количество приобретённых акций.

Данный ряд не имеет моды. Найдём среднее арифметическое ряда:

Найденное число не отражает реальной ситуации с распределением акций между сотрудниками лаборатории, поскольку оно больше шести из семи вариант ряда. Для оценки средней величины поступим иначе. Составим из полученных данных упорядоченный ряд и найдём варианту, записанную в середине ряда.
2; 3; 5; 6 ; 8; 9; 51.
Эту варианту называют медианой . Она равна 6. Естественно, найденное значение лишь приближённо характеризует средний показатель ряда, однако эта характеристика ближе к действительности.

Если ряд имеет чётное число вариант, то в качестве медианы рассматривают среднее арифметическое двух средних элементов. Например, медианой ряда 3; 3; 4; 5; 5: 6 : 6; 7; 7; 40 является среднее арифметическое чисел 5 и 6, т.е. (5 + 6)/2 = 5,5.

✅ Определение . Если в упорядоченном ряду данных нечётное число вариант, то средняя по счёту варианта называется медианой ряда . Если в упорядоченном ряду чётное число вариант, то среднее арифметическое двух средних по счёту вариант называется медианой ряда .

Медианой произвольной выборки является медиана соответствующего упорядоченного ряда. Заметим, что если упорядоченный ряд данных содержит 2n — 1 вариант (n - натуральное число), то медианой является n -я варианта, а если упорядоченный ряд данных содержит 2n чисел, то медианой является среднее арифметическое n -го и n + 1 -го чисел.

Рассмотрим пример . Во время соревнований по стрельбе спортсмен набрал следующее количество очков: 9; 9; 8; 10; 8; 7; 9; 10; 8; 7. Найдём: а) объём выборки; б) среднее арифметическое выборки; в) размах; г) моду ряда; д) медиану выборки.

Для решения задачи запишем упорядоченный ряд данных:
7; 7; 8; 8; 8; 9; 9; 9; 10; 10.

А) Спортсмен сделал 10 выстрелов, значит, объём выборки равен 10.

Б) Найдём среднее арифметическое выборки

В) Размах ряда равен 10 — 7 = 3.

Г) У данного ряда две моды: 8 и 9.

Д) Найдём медиану выборки. Данный ряд содержит чётное число вариант. Найдём среднее арифметическое двух чисел, записанных в середине ряда: (8 + 9)/2 = 8,5. Медианой выборки является число 8,5.

Это конспект по математике на тему «Статистические характеристики» . Выберите дальнейшие действия:

Перейти к следующему конспекту: