Введение.
В педагогических вузах введена программа единого курса алгебры и теории чисел. Главная цель этого курса-изучение основных алгебраических систем и воспитание алгебраической культуры, необходимой будущему учителю для глубокого понимания целей и задач как основного школьного курса математики, так и школьных факультативных курсов.
На наш взгляд, наиболее целесообразным является введение в школьное преподавание элементов современной абстрактной алгебры.
Начавшийся в ХХ веке процесс алгебраизации математики не прекращается, а это вызывает упорные попытки введения в школьное математическое образование основных алгебраических понятий.
Математическая глубина и необычайно широкая сфера применения полей сочетаются с простотой ее основных положений – понятий полей, целый ряд важных теорем можно сформулировать и доказать, обладая начальными представлениями в области теории множеств. Поэтому теория полей как нельзя лучше подходит для того, чтобы показать школьникам образец современной математики.
Кроме того, изучение элементов теории поля полезно для школьников, способствует их интеллектуальному росту, проявляющемуся в развитии и обогащении различных сторон их мышления, качеств и черт личности, а также воспитанию у учащихся интереса к математике, к науке.
1. Простое алгебраическое расширение поля.
1.1.Простое расширение поля.
Пусть P[x] - кольцо полиномов от x над полем P, где P - подполе поля F. Напомним, что элемент a поля F называется алгебраическим над полем P, если a является корнем какого-нибудь полинома положительной степени из P [x].
Определение. Пусть P < F и a0F. Простым расширением поля Pс помощью элемента a называется наименьшее подполе поля F, содержащее множество Р и элемент a. Простое расширение Pс помощью a обозначается через P (a), основное множество поля P (a) обозначается через Р(a).
Пусть a0F, P [x] - кольцо полиномов от x и
P[x]={f(a)*f0P[x]},
т. е. P [a] есть множество всех выражений вида a 0 + a 1 a+...+ a n a n , где а 0 , a 1, ...a n 0P и n - любое натуральное число.
Легко видеть, что алгебра +P[a], +, -, ., 1, - подкольцо поля P (a) - является кольцом; это кольцо обозначается символом P [a].
Теорема 1.1. Пусть P [x]- кольцо полиномов от х над Pи P (a)- простое расширение поля P. Пусть y - отображение P[x] на P[a] такое, что y(f)=f(a) для любого f из P[x]. Тогда:
(а) для любого а из Р y (а) = а;
(с) y является гомоморфизмом кольца P [x] на кольцо P [a];
(d) Kery ={f0P[x]*f(a)=0};
(е) фактор-кольцо P [x]/Кег y изоморфно кольцу P [a].
Доказательство. Утверждения (а) и (Ь) непосредственно следуют из определения y. Отображение y сохраняет главные операции кольца P [x], так как для любых f и g из P[x]
y(f + g)=f(a)+g(a), y(fg)= f(a)g(a), y(1)=1.
Утверждение (d) непосредственно следует из определения отображения y.
Поскольку y - гомоморфизм кольца P [x] на P [a], то фактор-кольцо P[x]/Кег y изоморфно кольцу P [a].
Следствие 1.2. Пусть a - трансцендентный элемент над полем P. Тогда кольцо полиномов P [x] изоморфно кольцу P [a].
Доказательство. В силу трансцендентности a над PKery={0}. Поэтому P[x]/{0}P [a]. Кроме того, фактор-кольцо кольца P [x] по нулевому идеалу изоморфно P [x]. Следовательно, P [x]P [a].
1.2.Минимальный полином алгебраического элемента.
Пусть P [x] - кольцо полиномов над полем P.
Определение. Пусть a - алгебраический элемент над полем P. Минимальным полиномом элемента a, над P называется нормированный полином из P[x] наименьшей степени, корнем которого является a. Степень минимального полинома называется степенью элемента a над P.
Легко видеть, что для всякого элемента a, алгебраического над P , существует минимальный полином.
Предложение 1.3. Если а - алгебраический элемент над полем P, а g и j - его минимальные полиномы над P, то g=j.
Доказательство. Степени минимальных полиномов g и j совпадают. Если g¹j, то элемент a (степени n над P) будет корнем полинома g - j, степень которого меньше степени полинома j (меньше n), что невозможно. Следовательно, g=j.
Теорема 1.4. Пусть a - алгебраический элемент степени n над полем P (aóP) и g - его минимальный полином над P. Тогда:
(а) полином g неприводим в кольце P [x];
(b) если f (a) = 0, где f0P[x], то g делит f;
(с) фактор-кольцо P [x]/(g) изоморфно кольцу P [a];
(d) P [x]/(g) является полем;
(е) кольцо P [a] совпадает с полем P (a).
Доказательство. Допустим, что полином g приводим в кольце P [x], т. е. существуют в P[x] такие полиномы j и h, что
g = jh, 1£deg j, deg h Тогда g(a) = j(a)h(a) = 0. Так как P (a) - поле, то j(a) = О или h(a) = 0, что невозможно, поскольку, по условию, степень элемента a над P равна п. Предположим, что f0 P[x] и f(a) = 0. По условию, g(a) = 0. Следовательно, f и g не могут быть взаимно простыми. Поскольку полином g неприводим, то g делит f. Пусть j - гомоморфизм кольца P [x] на кольцо P [a] (y(f)=f(a) для всякого f из P[x]), рассмотренный в теореме 2.1. В силу (Ь) ядро гомоморфизма y состоит из кратных полинома g, т.е. Кег y = (g). Следовательно, фактор-кольцо P = P [x]/(g) изоморфно кольцу P [a]. Поскольку P[a]ÌP(a), то P [a] есть область целостности. Так как P@P[a], то фактор-кольцо P также есть область целостности. Нам надо показать, что любой ненулевой элемент f из P обратим в P. Пусть f - элемент смежного класса f. Так как f¹ 0, то f(a)¹0; поэтому полином g не делит полином f. Поскольку полином g неприводим, отсюда следует, что полиномы f и g - взаимно простые. Следовательно, в Р[x] существуют такие полиномы u и v, что uf + vg=1. Отсюда вытекает равенство uf = 1, показывающее, что элемент f обратим в кольце P. Итак, установлено, что фактор-кольцо P является полем. В силу (с) и (d) P [a] является полем и поэтому P(a)ÌP[a]. Кроме того, очевидно, P[a]ÌP(a). Значит, P[a] = P(a). Следовательно, кольцо P [a] совпадает с полем P (a). 1.3.Строение простого алгебраического расширения поля.
Теорема 1.5. Пусть a - алгебраический над полем Pэлемент положительной степени n. Тогда любой элемент поля P(a) однозначно представим в виде линейной комбинации n элементов 1, a, ..., a n-1 с коэффициентами из Р. Доказательство. Пусть b- любой элемент поля P (a). По теореме 1.4, P(a) = P[a]; следовательно, существует в P[x] полином f такой, что Пусть g - минимальный полином для a над P; в силу условия теоремы его степень равна п. По теореме о делении с остатком, существуют в P[x] полиномы h и r такие, что (2) f = gh + r, где r = 0 или derr < derg = n , т. е. r=c 0 +c 1 x +…c n -1 x n -1 (c i 0P). Полагая в (2) x = а и учитывая равенство (1), имеем (3) b = c 0 +c 1 a +…c n -1 a n-1 Покажем, что элемент b однозначно представим в виде линейной комбинации элементов 1, a, ..., a n-1 . Пусть (4) b = d 0 +d 1 a +…d n -1 a n-1 (d i 0P) Любое такое представление. Рассмотрим полином j j = (с 0 – d 0) + (c 1 - d i .)x + . . . + (с n-1 –d n -1)x n -1 Случай, когда степень j меньше n, невозможен, так как в силу (3) и (4) j(a) = 0 и степень j меньше степени g. Возможен лишь случай, когда j = 0, т. е. с 0 = d 0 , . . . , с n-1 = d п-1. Следовательно, элемент b однозначно представим в виде линейной комбинации элементов 1, a,…,a n-1 . 1.4.Освобождение от алгебраической иррациональности в знаменателе дроби.
Задача об освобождении от алгебраической иррациональности в знаменателе дроби состоит в следующем. Пусть a - алгебраический элемент степени n>1 над полем P; f и h - полиномы из кольца полиномов P [x]и h(a) ¹0. Требуется представить элемент f(a)/h(a)0P(a) в виде линейной комбинации степеней элемента a, т. е. в виде j(a), Эта задача решается следующим образом. Пусть g - минимальный полином для a над P. Так как, по теореме 1.4, полином неприводим над P и h(a) ¹ 0, то g не делит h и, значит, полиномы h и g - взаимно простые. Поэтому существуют в P[x] такие полиномы u и v, что Поскольку g(a) = 0, из (1) следует, что u(a)g(a) = 1, 1/h(a) = u(a). Следовательно, f(a)/h(a) = f(a)u(a), причем f,u0P[x] и f(a)u(a)0P[a]. Итак, мы освободились от иррациональности в знаменателе дроби f(a)/h(a) . Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби Решение. В нашем случае a= Многочлены p(x) и g(x)=-x 2 +x+1 взаимно просты. Поэтому существуют такие многочлены j и y, что Для отыскания j и y применим алгоритм Евклида к многочленам p и g: X 3 -2 -x 2 +x+1 -x 2 +x+1 2x-1 x 3 -x 2 -x -x-1 -x 2 +1/2x -1/2x+1/4 x 2 -x-1 1/2x-1/4 Таким образом, p=g(-x-1)+(2x-1), g=(2x-1)(-1/2x+1/4)+5/4. Откуда находим (2x-1)=p+g(x+1), 5/4=g-(p+g(x+1))(-1/2x+1/4) p1/5(2x-1)+g(4/5+1/5(2x 2 +x-1))=1, p1/5(2x-1)+g(2/5x 2 +1/5x+3/5)=1. Таким образом, y(x)= (2/5x 2 +1/5x+3/5). Следовательно 2.Составное алгебраическое расширение поля.
2.1. Конечное расширение поля.
Пусть P - подполе поля F. Тогда мы можем рассматривать F как векторное пространство над P, т. е. рассматривать векторное пространство +F, +, {w l ½l0P}, где w l - операция умножения элементов из F на скаляр l0P. Определение. Расширение F поля P называется конечным, если F, как векторное пространство над P, имеет конечную размерность. Эта размерность обозначается через . Предложение 2.1. Если a - алгебраический элемент степени n над P, то =n. Это предложение непосредственно следует из теоремы 1.5. Определение. Расширение F поля P называется алгебраическим, если каждый элемент из F является алгебраическим над P. Пусть поле P
содержится в поле T
и a
– элемент T
не принадлежащий P
. Рассмотрим наименьшее поле P
(a
) содержащее все элементы из P
и a
. Все элементы вида принадлежат P
(a
). Рассмотрим два случая. Конечные поля.
Теорема 4.2. Число элементов конечного поля p n , где p – простое число. Доказательство
. Поскольку поле P конечно, то его характеристика отлична от нуля. Пусть p его характеристика. Поле P, можно рассматривать как векторное пространство над Z p . Обозначим через v 1 ,…,v n базис P. Любой элемент поля P однозначно характеризуется координатами (x 1 ,…,x n) в этом базисе. Каждая координата принимает p значений, следовательно, число различных наборов координат, а значит и элементов поля P, равно p n . Лемма 4.1 В поле характеристики p
Доказательство
. Теорема 4.3. Для любого натурального n и простого p существует поле порядка p n . Расширим Z p так, чтобы результирующее поле содержало все корни многочлена . Многочлен не имеет кратных корней, так как его производная равна –1. Обозначим через M множество корней многочлена . Легко проверить, что M является полем и число его элементов равно p n Теорема 4.4. Поле порядка единственно с точностью до изоморфизма. Доказательство
. Поскольку число элементов поля , то его характеристика равна . Следовательно, любое поле P
порядка можно рассматривать как расширение кольца вычетов . Мултьипликативная группа поля () имеет порядок , и, следовательно, для любого справедливо . Таким образом, все элементы поля являются корнями уравнения над . Теорема 4.5. Мультипликативная группа корней n
-ой степени из 1 в поле P является цикличной. Доказательство.
Пусть p
характеристика поля P
. Если , то 1. n
– простое число. Тогда группа корней имеет порядок n
, и, значит циклическая 2. - степень простого числа. Найдем корень уравнения , не являющийся корнем уравнения . Порядок элемента является делителем порядка группы n
и не является делителем . Следовательно, порядок равен n
и группа циклическая. 3. Пусть . Обозначим через порождающий элемент циклической группы корней из 1 степени . Положим . Индукцией по k
покажем, что порядок равен . При k
=1 утверждение очевидно. Пусть оно доказано для k
-1. Порядок элемента равен . Наибольший общий делитель t
и равен 1, и, значит, найдутся числа u
и v
, что . Поскольку и , то порядок элемента делится на t
и на . Далее, из равенства , следует, что порядок элемента является делителем . Теорема доказана. Теория Галуа
Поле T
называется конечным расширением поля P
, если T
является конечно мерным линейным пространством над P
. Размерность пространства называется степенью расширения. Любое алгебраическое расширение поля P
является конечным. Его степень равна степени неприводимого многочлена. Теорема 5.1. Конечное расширение U
поля T
, являющегося конечным расширением поля P
, является конечным расширением P
. Причем степень расширения U
над P
равна произведению степеней расширения. Доказательство
. Почти очевидно. Элемент поля T
называется алгебраичным над P
, если он является корнем некоторого многочлена над P
. Все элементы конечного расширения P
алгебраичны над P
. Любое конечное расширение может быть получено с помощью присоединения конечного числа алгебраических расширений. Теорема 5.2. Любое конечное расширение поля P
характеристики 0 является простым расширением. Доказательство
не очевидно. Конечное расширение T
называется нормальным расширением P
, если из факта, что неприводимый многочлен над P
имеет в T
корень, следует его разложимость на линейные множители. Ясно, что нормальное расширение поля характеристики 0, является полем разложения многочлена. Верно и обратное утверждение. Поле разложения многочлена является нормальным расширением. Автоморфизмом поля называется изоморфное отображение само на себя. Группой Галуа нормального расширения T
поля P
называется группа автоморфизмов поля T
, сохраняющая элементы поля P
. Теорема 5.3. Каждому промежуточному полю U
, соответствует некоторая подгруппа группы Галуа, а именно, совокупность тех автоморфизмов, которые не меняют элементы . Поле определяется подгруппой однозначно. 10. Теорема о строении простого алгебраического расширения 1 0 . Понятие минимального многочлена. Пусть a - алгебраическое число над полем k, т.е. корень ненулевого многочлена с коэффициентами из поля k. Определение. Нормированный многочлен m(a, k, x) над полем k называется минимальным многочленом числа a, если выполнены условия: а) m(x) - неприводим над полем k, т.е. не разлагается в произведение многочленов
положительной степени с коэффициентами из k; б) m(a) = 0, т.е. a - корень многочлена m(x). 2 0 . Основные свойства минимальных многочленов. 1. Если f(x) Î k[x] и f(a) = 0, то f(x) делится на минимальный многочлен m(х) числа a. Доказательство. В самом деле, предположив, что f не делится на m, запишем f = mg + r, deg r < deg m на основании теоремы о делении с остатком. Откуда r(a)=0. Поскольку многочлены r и m взаимно просты, то у них не может быть общих корней - противоречие. 2. Допустим, что a - алгебраическое число, а g(x) - нормированный многочлен наименьшей положительной степени такой, что g(x) Î k[x] и g(a) = 0. Тогда g(x) - минимальный многочлен числа a. Доказательство немедленно вытекает из свойства 1. 3. Минимальный многочлен алгебраического числа a над данным полем определен однозначно. Для доказательства достаточно применить свойство 2. Определение. Степень минимального многочлена числа a называется степенью числа a; обозначение deg k a. 4. a Î k Û deg k a = 1. Доказательство немедленно получается из определений. 5. Если a - алгебраическое число степени n, то 1, a, a 2 , ..., a n -1 линейно независимы над полем k, т.е. ("c 0 , c 1 , ..., c n-1 Îk) c 0 + c 1 a + ... + c n-1 a n -1 = 0 возможно только в случае c 0 = c 1 = . . . = c n-1 = 0. Доказательство. Действительно, если указанные степени числа a линейно зависимы, то это число является корнем некоторого многочлена над k, степени меньшей чем m. 6. Пусть a - алгебраическое число, f(x) Î k[x] и f(a) ¹ 0. Тогда дробь представима в виде = g(a) для некоторого g(x) Î k[x]. Доказательство. В самом деле, многочлены f и m взаимно просты (иначе f делился бы на m), значит, по теореме о линейном представлении НОД: для некоторых многочленов g и h над k верно равнство Откуда f(a) g(a) = 1, что и требовалось. 3 0 . Строение простых алгебраических расширений. Определение. Пусть k - подполе в L; a Î L. Наименьшее подполе в L, содержащее число a и подполе k, обозначаемое k(a), называется простым расширением поля k (говорят также, что k(a) получено присоединением к полю k числа a). Из приведенных свойств легко вывести теорему. Теорема (о строении простого алгебраического расширения). Для любого алгебраического числа a над полем k линейное пространство k(a) обладает базисом из элементов вида 1, a, a 2 , . . . , a n -1 , где n = deg k a. Доказательство. Легко понять, что k(a) состоит из дробей f(a)/g(a), где f(x), g(x) - многочлены над полем k и g(a) ¹ 0. Обозначим через k[a] - кольцо значений многочленов в точке a, т.е. k[a] = { f(a)½f(x)Î k[x]}. Из свойства 6 вытекает равенство k(a) = k[a]. Из теоремы о делении с остатком следует, что значение произвольного многочлена над полем k в точке a является линейной комбинацией над полем k указанных в теореме степеней элемента a. Наконец, из свойства 5 следует линейная независимочть над полем k этих степеней. ÿ 4 0 . Освобождение от иррациональности в знаменателе дроби. Разберем различные способы решения задачи об освобождении от иррациональности в знаменателе дроби. Принципиальная возможность ее решения вытекает из теоремы о строении простого алгебраического расширения. Пример 1. Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби: Решение. Обозначим через c число , и воспользуемся известной формулой суммы членов геометрической прогрессии: 1+ c + c 2 + c 3 + c 4 = (c 5 - 1)/(c- 1) = 1/(c- 1), следовательно, Пример 2. Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби: Решение. Обозначим через c число , и запишем сначала дробь в виде суммы простейших: Теперь, используя схему Горнера, каждую из указанных дробей можно заменить на многочлен относительно c. Сначала разделим c 5 - 2 на c + 1: следовательно, C 4 - 2c 3 + 4c 2 - 8c + 16. Тогда получаем 34(c 4 - c 3 + c 2 - c + 1) - 3(c 4 - 2c 3 + 4c 2 - 8c + 16) = 31c 4 - 40c 3 + 22c 2 - 10c - 14, Пример 3. Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби: Решение. Обозначим через c число . Найдем линейное представление НОД многочленов f(x) = x 3 - 2 и g(x) = 1 + 2x - x 2: f(x) = - g(x)×(x + 2) + r(x), где r(x) = 5x 5g(x) = r(x)×(x - 2) - 5. Из этих равенств, получаем линейное представление НОД f(x) и g(x): f(x)×(x - 2) + g(x)×(x 2 + 1) = 5. Подставляя в последнее равенство вместо x число c, получим следовательно, =. Пример 4. Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби: Решение. Обозначим через c число и применим метод неопределенных коэффициентов. По теореме о строении простого алгебраического расширения существуют рациональные числа x, y, z такие, что Xc 2 + yc + z или 89 = (c 2 + 16c - 11)(xc 2 + yc + z). Раскрывая скобки и используя равенство c 3 = 2, получаем: 89 = (32x + 2y - 11z) + (2x - 11y + 16z)c + (-11x + 16y + z)c 2 . Так как числа 1, c, c 2 линейно независимы над Q имеем 32x + 2y - 11z = 89, 2x - 11y + 16z = 0, 11x + 16y + z = 0. Решением последней системы является набор чисел (3, 2, 1). Значит, получаем ответ: Теорема
1.5
. Пусть
a
- алгебраический над полем
P
элемент положительной
степени
n
.
Тогда любой элемент поля
P(a)
однозначно представим
в виде линейной комбинации
n
элементов
1, a,
..., a n -1
с коэффициентами из
Р.
Доказательство
.
Пусть -
любой элемент поля
P
(a).
По теореме 1.4, P(a)
=
P
[
a];
следовательно,
существует в P
[
x
]
полином f
такой, что (1)
=
f
(a
).
Пусть
g
-
минимальныйполином для a
над P;
в силу условия теоремы его степень
равна п.
По
теореме о делении с остатком, существуют
в P
[
x
]
полиномы h
и
r
такие, что (2)
f = gh +
r,
где
r = 0
или
der r <
der g = n ,
т.
е.
r=c
0
+c
1
x
+…c
n-1
x
n-1
(c i P).
Полагая в (2) x
= а
и учитывая равенство
(1), имеем (3)
=
c
0
+
c
1
a
+…
c
n
-1
a
n
-1
Покажем,
что элемент
однозначно представим в виде линейной
комбинации элементов 1, a,
..., a n -1 .
Пусть (4)
=
d
0
+
d
1
a
+…
d
n
-1
a
n
-1
(d i
P) Любое
такое представление. Рассмотрим полином
=
(с
0
–
d
0
)
+ (c
1
-
d
i
.)
x
+ . . . + (с
n
-1
–
d
n
-1
)
x
n
-1
Случай,
когда степень
меньше n
,
невозможен, так как
в силу (3) и (4) (a)
= 0 и степень
меньше степени g
.
Возможен лишь случай,
когда
= 0, т. е. с
0
=
d
0
,
. . . , с
n
-1
= d
п-1.
Следовательно, элемент
однозначно представим в виде линейной
комбинации элементов 1, a,…,a n -1 . Задача
об освобождении от алгебраической
иррациональности в знаменателе дроби
состоит в следующем. Пусть a
- алгебраический элемент степени n>1
над полем P;
f
и h
-
полиномы из кольца
полиномов P
[x]и
h(a)
0.
Требуется представить элемент
f(a)/h(a)0P(a)
в виде линейной комбинации степеней
элемента a,
т. е. в виде (a), где
0P[x]. Эта
задача решается следующим образом.
Пусть g
- минимальный полином
для a
над P.
Так как, по теореме 1.4, полином неприводим
над P
и h(a)
0, то g
не делит h
и, значит, полиномы h
и g
- взаимно простые. Поэтому существуют
в P[x]
такие полиномы u
и v
,
что uh
+
vg
=1
(1) Поскольку
g(a)
= 0, из (1) следует, что u(a)g(a)
= 1, 1/h(a)
= u(a). Следовательно,
f(a)/h(a)
= f(a)u(a),
причем f,u
0P[x]
и f(a)u(a)0P[a].
Итак, мы освободились от иррациональности
в знаменателе дроби f(a)/h(a)
.
Пример.
Освободиться от
иррациональности в знаменателе
дроби
Решение.
В
нашем случае
= p
(x
)=
x
3
-2.
Многочлены
p
(x
)
и
g
(x
)=-
x
2
+
x
+1
взаимно просты. Поэтому существуют
такие многочлены
и
, что
p
+
g
=1.
Для
отыскания
и
применим алгоритм Евклида к многочленам
p и g:
-
x
3
-2
-
x
2
+
x
+1
-
x
2
+
x
+1
2
x
-1
x
3
-
x
2
-
x
-
x
-1
-
x
2
+1/2
x
-1/2
x
+1/4
x
2
+
x
-2 1/2
x
+1
x
2
-
x
-1
1/2
x
-1/4
2
x
-1 5/4
Таким образом,
p
=
g
(-
x
-1)+(2
x
-1),
g
=(2
x
-1)(-1/2
x
+1/4)+5/4.
Откуда находим (2x-1)=p+g(x+1),
5/4=g-(p+g(x+1))(-1/2x+1/4)
или
p1/5(2x-1)+g(4/5+1/5(2x
2
+x-1))=1,
p
1/5(2
x
-1)+
g
(2/5
x
2
+1/5
x
+3/5)=1.
Таким образом,
(x
)=
(2/5
x
2
+1/5
x
+3/5).
y
(
)=
y
( Следовательно
.
, где - кратность вхождения элемента. Величина не делится на p
только в случае i=
0;p.
Так как pe=0
, то .
, и, значит, множество корней уравнения совпадает с множеством корней степени . Не нарушая общности можно считать . Доказательство достаточно провести для случая, когда все корни n
-ой степени из 1 содержатся в поле P
. В противном случае расширим поле и воспользуемся фактом, что любая подгруппа циклической группы – циклическая. Поскольку 
имеет только единственный корень, равный нулю, то количество корней n
-ой степени из 1 равно n
. Рассмотрим три случая:
.
.
.
.1.3.Строение простого алгебраического расширения поля.
1.4.Освобождение от алгебраической иррациональности в знаменателе дроби.
.
Минимальным многочленом этого числа
является
)=
.
.